lunes, 28 de febrero de 2011

¿QUE ES LA GEOMETRA?

El término viene del griego “geos” que quiere decir Tierra y “metrica” que significa medir, medir la Tierra literalmente, es una rama de la matemática que se dedica al estudio de las figuras que una persona puede realizar en el plano y el espacio. El cálculo, el análisis matemático y las ecuaciones diferenciales tienen su principio en la geometría. De allí sus aplicaciones en química,física , cartografía, astronomía y otras ciencias.



Punto, recta, Plano y Espacio


Para ser un verdadero γεωμέτρης (geómetra), debes conocer los conceptos basicos de la geometría tales como:
EL PUNTO: Ubicación sin longitud, anchura ni altura.
LA RECTA: Longitud ilimitada derecha, son grosor ni extremos.
EL PLANO: Ilimitado continuo en todas direcciones, llano sin grosor.
EL ESPACIO: IIilimitado, sin longitud anchura ni altura.

Relaciones entre puntos, rectas y planos



PUNTOS COLINEALES: Son puntos que están en la misma recta.

PUNTOS COPLANARES: Son puntos que se encuentran en un mismo plano.
RECTAS INTERSECANTES: Son dos rectas con un punto en común.
RECTAS PARALELAS: Son rectas que están en el mismo plano y no se intersecan.
RECTAS CONCURRENTES: Son tres o mas rectas coplanares que tienen un punto en común.

fFiguras geomètricas bàsicas


SEGMENTO: es el conjunto de los puntos A y B de todos los puntos que están entre A y B.

RAYO: es un subconjunto de una recta que contiene un punto A dado y todos los puntos que están en el mismo lado de A, como B.
ÁNGULO: es la unión de dos rayos no colineales que tienen el mismo extremo.
CUADRILÁTERO: es la unión de cuatro segmentos determinados por cuatro puntos, entre los cuales no hay tres que sean colineales. Los segmentos se intersecan sólo en sus extremos.
CIRCULO: es el conjunto de todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un punto dado del plano.


segmentos y angulos congruencia y medicion



Dos SEGMENTOS son CONGRUENTES si tienen la misma longitud.


Dos ANGULOS son CONGRUENTES si tienen la misma medida.

TRES TIPOS DE ANGULOS:
ANGULO AGUDO: es el angulo que mide menos de 90

ANGULO RECTO: es el angulo que mide 90

ANGULO OBTUSO: Es el angulo que mide mas de 90


Bisectriz y segmento de un angulo


BISECTRIZ DE UN ANGULO: es la recta que lo divide en dos partes iguales.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: es el punto que divide el segmento en dos partes iguales.

BISECTRIZ DE UN SEGMENTO: es cualquier punto, segmento, rayo, recta o plano que contenga al punto medio del segmento.

Rectas y planos perpendiculares

Dos rectas son PERPENDICULARES si al intersecarse forman ángulos rectos congruentes.
Definiciones de perpendicular:
1. Cuando dos rectas son perpendiculares, todos los angulos que se forman miden 90 (angulos rectos) y son congruentes.
2. Cuando dos rectas se intersecan para formar uno, dos o tres angulos de 90 (angulos rectos), forman cuatro angulos rectos y son perpendiculares.
3. Cuando dos rectas se intersecan para formar un par de angulos congruentes con un lado comun, las rectas son perpendiculares.

Una RECTA ES PERPENDICULAR A UN PLANO si es perpendicular a cada una de las resctas del plano que intersecan a la recta.
Dos PLANOS SON PERPENDICULARES si en uno de ellos hay una recta que es perpendicular al otro.
La BISECTRIZ PERPENDICULAR DE UN SEGMENTO es una recta perpendicular al segmento y contiene su punto medio.

La DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA es la longitud del segmento trazado desde el punto perpendicular a la recta.






Poligono



Un POLIGONO es la unión de segmentos que se juntan solo en sus extremos, de tal manera que: (1) como maximo, dos segmentos se encuentran en un punto, y (2) cada segmento toca exactamente a otros dos.

Los poligonos reciben un nombre en particular de acuerdo con el numero de sus lados que tengan. Por ejemplo:
Triangulo, 3 lados
Cuadrilatero, 4 lados
Pentagono, 5 lados
Hexagono, 6 lados
Heptagono, 7 lados
Octagono, 8 lados

Una DIAGONAL DE UN POLIGONO es un segmento que toca dos vertices no consecutivos cualesquiera del poligono.

Un POLIGONO ES CONVEXO si todas sus diagonales estan en el interior del poligono.

Un TRIANGULO EQUILATERO es aquel cuyos lados son todos congruentes entre si.

Un TRIANGULO ISOCELES en un triangulo que tiene dos lados congruentes entre si.

Un POLIGONO REGULAR es aquel cuyos lados son congruentes entre si, y todos sus angulos tambien son congruentes entre si.

Teoremas sobre rectas paralelas





TEOREMA 5.1
Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de angulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

TEOREMA 5.2
Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de angulos alternos interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

TEOREMA 5.3
Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de angulos alternos exteriores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

TEOREMA 5.4 
Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de angulos interiores en el mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.

TEOREMA 5.5
Dadas las rectas p, q y r, si p es paralela a q y q es paralela a r, entonces p es paralela a r.
TEOREMA 5.6
Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los angulos alternos interiores son congruentes.

TEOREMA 5.7
Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los angulos alternos exteriores son congruentes.

TEOREMA 5.8
Si dos rectas se cortan por una transversal, entonces los angulos correspondientes son congruentes.

TEOREMA 5.9
Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los angulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios.

PROPORCIÓN

tumblr_lhb6bbrj3K1qhzhfko1_500.jpg


Una PROPORCIÓN es una igualdad entre dos razones.
TEOREMA 9.1
Si a/b=c/d entonces a x d= b x c
TEOREMA 9.2
Si a/b=c/d, entonces a+b/b=c+d/d
TEOREMA 9.3
Si a/b=c/d, entonces a-b/b=c-d/d
TEOREMA 9.4
Si a/b=c/d, entonces a/c=b/d
TEOREMA 9.5
Si a x d= b x c, entonces a/b=c/d

El postulado de la semejanza AAA

Si tres ángulos de un triangulo son congruentes con los tres ángulos del otro triangulo, entonces los triángulos son semejantes.
TEOREMA 9.8
Si dos ángulos de un triangulo son congruentes con dos ángulos de otro triangulo, entonces los triángulos son semejantes.
TEOREMA 9.9
Dos triángulos rectángulos son semejantes si un ángulo agudo de uno es congruente con un ángulo agudo de otro.

Triángulos rectangulos y triángulos semejantes

La MEDIA GEOMÉTRICA de una cantidad arbitraria de números (digamos nnúmeros) es la raiz n-ésima del producto de todos los números.
TEOREMA 9.10
En un triangulo rectangulo, la longitud de la altura a la hipotenusa es la media geometrica entre las longitudes de los dos segmentos de la hipotenusa.
TEOREMA 9.11
Dados un triangulo rectángulo y la altura a la hipotenusa, cada cateta es la media geométrica entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del segmento de la hipotenusa adyacente al cateto.

Teoremas de la semejanza LLL y LAL

TEOREMA 9.12
Si los tres lados de un triangulo son proporcionales a los tres lados de otro triangulo, entonces los dos triangulos son semejantes.
TEOREMA 9.13
Si un angulo de un triangulo es congruente con un angulo de otro triangulo, y los lados correspondientes que incluyen al angulo son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

Euclides

Euclides
Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría (Egipto) durante el reinado de Ptolomeo. Ciertos autores árabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates y se barajan tres hipótesis:
  1. Euclides fue un personaje matemático histórico que escribió Los elementos y otras obras atribuidas a él.
  2. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría Todos ellos contribuyeron a escribir las "Obras completas de Euclides", incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.
  3. Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes.
Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, quien vivió alrededor del 450, escribió importantes comentarios sobre el libro I de los Elementos, dichos comentarios constituyen una valiosa fuente de información sobre la historia de la matematica griega. Así sabemos, por ejemplo, que Euclides reunió aportes de Eudoxo en relación a la teoría de la proporción y de teeteto sobre los poliedros regulares.

tumblr_lhb7j1DGp11qhzhfko1_400.jpg

Ejercicios de triángulos semejantes - HD

Aplicaciones de triángulos semejantes - HD

Frases celebres

"La música es la aritmética de los sonidos, como la óptica es la geometría de la luz." 


"Si Pitágoras hubiera tenido la suerte de vivir en esta era, hubiera sido entrenador de fútbol, porque el fútbol es geometría, apertura y cierre de espacios, movimientos lógico matemáticos." 


"La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, y el otro el número áureo. El primero puede compararse a una medida de oro, y el segundo a una piedra preciosa."  


"Donde hay materia hay geometría."

Cómo medir un ángulo - Educación primaria y secundaria - Educación - Pra...

bISECTRIZ DE DOS RECTAS CONCURRENTES

Mediatriz de un segmento